Thermotics Chapter3

十月 18, 2014

热学 - Chapter 3（TA Notes）

  • 本注解以授课教授讲义为主，参考《大学物理通用教程·热学》（第二版）（北京大学出版社）

  • 包括两部分内容: Part I -为易错或较难的作业题解答，Part II -补充一些视角

Part I：（部分）习题解答

  :) 大部分同学对本章作业题顺利完成，有几位同学没有攻克习题3.9，甚至说连参考答案都看不懂（-_-!)，以下是我的注解：

习题3.9

  解析：如果阅读了课本p105-107页，这道题似乎也不是很难。题文的意思是：若有90%的电子的自由程超过了20cm，问此时显像管压强是多少。自由程的分布函数已经由课本(3.16)式给出(关于此公式的注解见备注)

$$P(\lambda)=\frac{1}{\bar{\lambda}}e^{-\frac{\lambda}{\bar{\lambda}}}$$
那么自由程\(\lambda\)大于L的概率
$$F(\lambda>L)=\int_{L}^{\infty}P(\lambda)\mathrm{d}\lambda =e^{-L/\bar{\lambda}}.$$
另外我们考察从阴极管出来的电子束与稀薄气体分子的碰撞过程，可以利用(3.7)-(3.8)公式，电子的平均自由程
$$\bar{\lambda}=\frac{\bar{\upsilon}}{\bar{Z}}=\frac{\bar{\upsilon}}{n\sigma\bar{u}}$$
需要注意的是，这里电子的尺寸可以忽略（在电子看来，分子就是庞然大物），求散射截面只需带入空气分子的半径d/2。另外粒子间的相对运动速度\(\bar{u}\)近似为电子的速度\(\bar{\upsilon}\)。对于空气分子数密度n利用\(n=p/k_B T\)即可。由这些公式联立便可以得到压强的表达式
$$p=-\frac{4k_B T}{\pi d^2 L}ln F(\lambda>L)$$
带入数据可解得真空度至少为\(3.1\times 10^{-2} Pa\)。

  备注：

  1. 课本中气体分子碰撞的概率分布的推导非常漂亮（似乎讲义中没作要求），我们可以探讨一下。要得到分布同样从\(\lambda -\lambda+\mathrm{d}\lambda\)入手，实际上就是计算已运动了\(\lambda\)距离后在又一小段\(\mathrm{d} \lambda\)长度内发生碰撞的粒子百分比，这个比率应当和碰前粒子数和碰撞的长度成比例。之后就是一些数学过程了。其实，从这个概率分布的推导过程我们可以看出，气体分子内部仍然是遵循着牛顿运动定律，在我们需要的时候可以追踪这些粒子的轨迹（虽然在推导麦克斯韦分布律时我们完全没有利用这些细节）。进一步地，我们说气体分子满足统计规律性，但不代表我们没有办法知道这些粒子的确切运动状态，如果我们知道了分子的初态和边界，完全可以预测这些粒子的位置和速度，只是我们不关心罢了（当然，目前没有计算机能够处理个体数多达\(10^{22}\)量级的系统）。
  2. 在显像管中电子碰撞气体分子传递能量，气体分子的热运动又把能量传给显像管的壁，产生加热效果。所以，在隔绝热的需求中，高真空度非常重要，否则气体的热运动会造成很大的漏热，例如低温实验中的液氦杜瓦、生活中暖水壶的内胆。

Part II：多说几句

  课本和讲义中给出分子的平均自由程时说，麦克斯韦速度分布律能证明两分子的相对运动速度\(\bar{u}=\sqrt{2}\bar{\upsilon}\)，不知道有没有人好奇究竟是怎么得到的？如何从速度分布律得到相对速度分布律呢？这里提供示例性地推导，感兴趣的往下看~

  设分子的速度\(\upsilon\)的分量\(\upsilon_i (i = x,y,z)\)。麦克斯韦速度分布律给出平衡态时，

$$f(\upsilon_i)=(\frac{m}{2\pi k T})^{1/2}e^{-m_i^2/2kT}$$
速度为\(\upsilon\)的分子和另一\(\upsilon'\)的分子相对速度\(u=\upsilon'-\upsilon\)，分量形式\(u_i=\upsilon_i'-\upsilon_i\)，则
$$f(u_i)=\int_{-\infty}^{\infty}f(-\upsilon_i)f(u_i+\upsilon_i)\mathrm{d}\upsilon_i=\frac{m}{2\pi k T}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{m}{2kT}[2(\frac{u_i}{2}+\upsilon_i)^2+\frac{1}{2}u_i^2]}\mathrm{d}\upsilon_i$$
做变量替换\(x^2=\frac{m}{2kT}[2(\frac{u_i}{2}+\upsilon_i)^2+\frac{1}{2}u_i^2]\)，再利用积分公式\(\int_0^{\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)可以得到相对运动速率分布律
$$f(u_i)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{\pi k T}}e^{-\frac{mu_i^2}{4kT}}$$
然后利用方向无关性，可以得到相对速度分布律
$$f(u)=\int f(u_x)f(u_y)f(u_z)u^2 \sin\theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi =(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{\pi k T}})^3 4\pi e^{-\frac{mu^2}{4kT}}u^2$$
这样可以求平均相对速率
$$\bar{u}=\frac{\pi}{4}(\frac{m}{\pi k T})^{\frac{3}{2}}\int_0^{\infty}e^{-\frac{mu^2}{4kT}}u^22u\mathrm{d}u,$$
令\(x=u^2\)，再用积分公式\(\int_0^{\infty}x^n e^{-ax}\mathrm{d}x=\frac{n!}{a^{n+1}}\)就可以得到
$$\bar{u}=4\sqrt{\frac{kT}{\pi m}}=\sqrt{2}\bar{\upsilon}.$$

Last Modified: 2014-10-20