Leon's Blog - Hermite插值法

考察Lagrange和Newton插值多项式时我们限定的插值条件分别是$L_n(x_i)=f(x_i)$和$N_n(x_i)=f(x_i)$，也就是说我们要求插值多项式在插值节点处是精确的，但在不少实际问题中需要其在节点处的导数值也精确。导数意味着光滑度，越高阶的导数连续说明节点处越光滑。一般这种对导数值也有要求的插值问题称为Hermite插值，通常研究的是带一阶导数条件的插值。例如，物理学中波跨越界面时，边值条件要求值连续且一阶导连续。解决Hermite插值仍采用的是Lagrange插值多项式基函数的方法。

给定$f(x)$在插值节点$x_0,x_1,\cdots,x_n$出的函数值$y_0,y_1,\cdots,y_n$及相应的一阶导数$y'_0,y'_1,\cdots,y'_n$，要求满足以下插值条件

$$H_{2n+1}(x_i)=y_i=f(x_i),H_{2n+1}(x_i)=y'_i=f'(x_i),(i=0,1,\cdots,n)$$

的次数不超过2n+1的插值多项式$H_{2n+1}(x)$。设

$$H_{2n+1}(x)=\sum^n_{j=0}\alpha_j(x)y_j+\sum^n_{j=0}\beta_j(x)y'_j$$

其中，$\alpha_j(x), \beta_k(x)$为2n+2个基函数，且均为次数不超过2n+1的代数多项式，满足

$$\left\{ \begin{array}{ll} \alpha_j(x_i)=\delta_{ij}=\{ \begin{array}{ll} 1 &j=i\\ 0 &j\ne i\\ \end{array}\\ \alpha'_j(x_i)=0, i=0,1,2,\cdots,n\\ \beta_j(x_i)=0, i=0,1,2,\cdots,n\\ \beta'_j(x_i)=\delta_{ij}=\{ \begin{array}{ll} 1 &j=i\\ 0 &j\ne i\\ \end{array}\\ \end{array} \right.$$

根据多项式零点的性质，我们可以设定$\alpha_j(x)$和$\beta_j(x)$的形式。对$\alpha_j(x)$，除$x_j$外其他节点皆为其二重零点，故可以构造出

\begin{align*} \alpha_j(x)&=C(x)\frac{(x-x_0)^2(x-x_1)^2\cdots(x-x_{j-1})^2(x-x_{j+1})^2\cdots(x-x_n)^2}{(x_j-x_0)^2(x_j-x_1)^2\cdots(x_j-x_{j-1})^2(x_j-x_{j+1})^2\cdots(x_j-x_n)^2}\\ &=C(x)\ell^2_j(x) \end{align*}

由于$\alpha_j(x)$是2n+1次多项式，故C(x)只能是一次式，可令C(x)=Ax+B，即 $\alpha_j(x)=(Ax+B)\ell^2_j(x)$，有

$$\left\{ \begin{array}{ll} Ax_j+B=1\\ A+2(Ax_j+B)\ell'_j(x_j)=0\\ \end{array} \right.$$

故得 $\alpha_j(x)=(1+2(x_j-x)\ell'_j(x_j))\ell^2_j(x)$.同样地，对$\beta_j(x)$，$x_j$为一重零点，外其他节点皆为其二重零点，构造

\begin{align*} \beta_j(x)&=C(x-x_j)\frac{(x-x_0)^2(x-x_1)^2\cdots(x-x_{j-1})^2(x-x_{j+1})^2\cdots(x-x_n)^2}{(x_j-x_0)^2(x_j-x_1)^2\cdots(x_j-x_{j-1})^2(x_j-x_{j+1})^2\cdots(x_j-x_n)^2}\\ &=C(x-x_i)\ell^2_j(x) \end{align*}

由于$\beta_j(x)$是2n+1次多项式，故C是常数。利用$\beta'_j(x_j)=1$可得C=1，从而 $\beta_j(x)=(x-x_j)\ell^2_j(x)$. 确定了$\alpha_j(x)$和$\beta_j(x)$的形式后，有

$$H_{2n+1}(x)=\sum^n_{j=0}(y_j+(x-x_j)(y'_j-2y_j\ell'_j(x_j))\ell^2_j(x),$$

其中$\ell_j(x)$为Lagrange插值基函数。可以直接求导知

\begin{align*} \ell'_j(x_j)&=\frac{1}{(x_j-x_0)}+\cdots+\frac{1}{(x_j-x_{j-1})}+\frac{1}{(x_j-x_{j+1})}+\cdots+\frac{1}{(x_j-x_n)}\\ &=\sum^n_{i=1,i\ne j}\frac{1}{x_j-x_i} \end{align*}

另外，Hermite插值余项为

$$R(x)=f(x)-H_{2n+1}(x)=\frac{1}{(2n+2)!f^(2n+2)(\xi)P_{n+1}^2(x)}$$